Corrección/Repetición y extensión de Tarea 3

Tarea 3

3A) Campos escalares.

Si observamos mapas orográficos, nos toparemos con unas líneas sinuosas, dentadas o hasta a veces quebradas; inclusive en esas líneas pueden haber superficies de diversos colores, los cuales contienen valores continuos o por rangos de alturas sobre el nivel del mar. A estas líneas se les denomina 'curvas de nivel' y representa una cantidad ESCALAR.

Un valor escalar es aquel que se representa con un número, el cual es arbitrario, como la altura, que se toma con respecto al nivel del mar por conveniencia internacional, pero... también existen valores escalares como Temperatura, Presión, 'x', 'y', 'z', tiempo, y un largo etcétera. Cuando en un espacio se representan valores escalares agrupados, se tiene un campo escalar como los siguientes:

En estos campos escalares, cuando se unen con líneas los valores idénticos, se obtienen curvas de nivel o 'isotermas' (del griego 'isos' : igual). El nombre de isotermas está muy difundido por la termodinámica, ya que hay procesos que son iso: isotérmicos, isobáricos, isocóricos; pero esta denominación 'iso' se puede extender a cualquier sistema de coordenadas, como 'iso-x', 'iso-y', 'iso-z', 'isotiempo' o bien, 'isolugar'.

Ahora bien, cuando se lleva a cabo un fenómeno, acontecimiento o bien un 'proceso', pueden haber dos o más variables medibles escalarmente en dicho proceso, por lo que los campos escalares de dichas magnitudes medibles se 'suman' para obtener un sistema de coordenadas, el cual es arbitrario y es por elección ya que su única relevancia es la de poder localizar al proceso en esas dos o más magnitudes, que pueden ser por ejemplo el tiempo, la velocidad, la posición, presión, temperatura, volumen o cualquier otra.

3B) Campos vectoriales. Importancia de la suma de vectores para la obtención de campos vectoriales

Ya obtenido un campo escalar y la suma de éstos, ahora hay que localizar un proceso en él. En dicho proceso habrá cambios de variables, los cuales dependerán de la naturaleza de dicho proceso y de la interdependencia entre las variables que lo afecten, esto es, la relación función-variable encontrada experimentalmente.

En este caso, el desplazamiento en 'y' cuando 'x' es constante es 1 y el desplazamiento en 'x' cuando 'y' es constante es también 1. A estos desplazamientos se les llama VECTORES, los cuales tienen una magnitud, una dirección y un sentido, por lo que cambia su valor y significado cuando el desplazamiento es positivo o negativo.

El valor del vector depende naturalmente del cambio que haya con respecto a 'y' y a 'x', por lo que el nuevo vector estará dado por:

Es por ello que es importante la suma de vectores para calcular una derivada, la cual es un vector también (¡!). Ahora, si se incluye una fórmula analítica se puede construir un campo vectorial de manera gráfica, repitiendo las derivadas según la dependencia algebraica de las variables en el proceso. Por ejemplo:

Para un proceso con la fórmula analítica: 

Y con un campo escalar:

Se realiza la aplicación de la fórmula analítica en el campo escalar y se obtiene:

Como se observa, al aplicar la fórmula analítica del proceso para T=1 y V=1, el valor de la componente en T es 2, mientras que el componente en V es 1. Para cuando T=1 y V=2, los valores de las componentes en T y V son 2 y 1=2, para T=1 y V=3 son 2 y 1/3 y para T=1 y V=4 son 2 y 1/4. Así se repite con todos los valores de T y V utilizando la fórmula analítica del proceso. Por último, si se eliminan las componentes en T y V y se traza el vector correspondiente a cada punto, se obtiene:

Y es así como se obtiene un primitivo campo vectorial. Si se aplica la fórmula para todos y cada uno de los puntos, se puede obtener un campo vectorial completo.

3C) Trascendencia de la elección del campo escalar

Como ya vimos, se puede elegir un sistema de coordenadas, basado en un campo escalar de una magnitud que pueda ser medible. Por ejemplo, para un estado de gas, se puede medir su temperatura, volumen, presión, o bien, calcular entalpía o entropía o energía interna, entre muchas otras magnitudes físicas. Por ello, es importante no 'casarse' con un campo escalar, o bien, un sistema de coordenadas, ya que se elija el sistema que se elija, un proceso sigue siendo el mismo, dado que es absoluto, mientras que las coordenadas son relativas.

Un ejemplo puede ser el siguiente:

Teniendo un proceso que se puede describir por las dos ecuaciones:

Donde A, B, C y D son los coeficientes que le dan sentido a la ecuación y que modifican la magnitud de cada componente en el que se localiza.

Se puede representar en dos sistemas de coordenadas, los cuales son perfectamente válidos:

Como se observa, es exactamente el mismo proceso, sin embargo, se puede cambiar su interpretación según el sistema de ejes coordenados que se elija. Es por ello, que esta elección es irrelevante, pero esto no significa que sea útil, por lo que se puede concluir que no es de vital importancia la existencia de este.

Fuentes:

Apuntes de clases Física III grupo 1401
http://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(f%C3%ADsica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector