Tarea 10

10A) Teoría de aberración

En la tarea 2 se trató el efecto de la aberración en la observación del ángulo de incidencia de la radiación con respecto a un observador, que tiene velocidad relativa con respecto a otro. Esto, ya con lo visto en clase, puede tener una explicación más profunda si postulamos lo siguiente:

Si para dos marcos de referencia A y M se tiene

Para esto es necesario decir que también

Ahora, sabiendo que

Entonces sustituyendo tenemos

Ahora, si hacemos lo mismo con el marco de referencia A:

Y esto lo que demuestra es el efecto de las velocidades relativas entre los observadores A y M.

Fuentes:

Notas en SAE

Corrección de tarea 8

8A) La rapidez de la luz es independiente del marco de referencia

La luz es viajera en espacio-tiempo, por lo cual debería tener un desplazamiento relativo. Este desplazamiento por lo tanto es un vector que tiene magnitud, y como muchos otros vectores, ésta tendría que depender del marco de referencia que se asigne a dicho vector. Sin embargo, ésto no es del todo cierto, si tomamos en cuenta a la teoría de la relatividad espacial:

Y si postulamos también que la rapidez de la luz es independiente de la elección de un marco de referencia y que:

El producto punto (o escalar) entre los vectores M (marco de referencia) y velocidad de la luz es cero, es decir, son perpendiculares. También si se considera lo siguiente:

La letra gamma, es muy importante en este planteamiento, se le conoce como factor o representación de Minkowski (se tratará en tarea 9). Si tomamos en cuenta esto también, entonces tenemos lo siguiente:

Ahora, esto es para un marco de referencia, pero se postula lo mismo para otro marco de referencia A. Esto según el principio de la teoría de la relatividad especial en el que no hay marcos de referencia privilegiados. Por ello, el vector de la velocidad de la luz se plantea de la siguiente manera para el marco A:

Si queremos obtener un escalar, entonces debemos evaluar el vector en la onda (o forma diferencial) para ambos casos:

Ahora evaluamos:

Lo que resta es entonces la demostración del teorema que trata a cerca de la irrelevancia que tiene la elección de marco de referencia en la rapidez de la luz:

Como en este producto notable, el valor del doble producto de los vectores M y velocidad de la luz con respecto a M (que se encuentra al centro), entonces se obtiene lo siguiente:

Si aplicamos lo mismo a los vectores A y rapidez de la luz:

Entonces de ambas ecuaciones, podemos coincidir que:

Con eso concluimos que para cualquier marco de referencia, la rapidez de la luz es la misma, dando por sentado que no hay marcos de referencia privilegiados y que su uso en este caso es indistinto y su elección irrelevante.

8B) Refracción de la luz, índice de refracción

Si la refracción es el fenómeno en el cual la trayectoria de la luz ha cambiado al pasar de un medio a otro, entonces existe alguna interacción entre la radiación y el medio. Esta interacción, o interacciones (pues pueden ser más de dos) provocan un cambio de velocidad de ésta radiación, según el marco de referencia en el que nos situamos.

En el tema de métrica, se ha indicado que la magnitud de un vector, o proceso, es la magnitud de una derivada, la cual proviene de que éste vector exista en un campo escalar. Esta magnitud la da el ambiente, actúa como tensor métrico en el vector, asignándole una magnitud:

Si la velocidad de la luz tiene una magnitud en el vacío, otra en el aire y otra en el agua, por lo que se puede decir entonces que un tensor métrico distinto actúa sobre el vector, que es la radiación:

En este planteamiento, hay una identidad que es la velocidad de la luz en el vacío (C), en la que actúa el tensor métrico del vacío. Las demás, son ponderaciones que existen con respecto a cada tensor métrico que actúa según el medio.

Entonces, el índice de refracción es resultado directo de la interacción tensormétrico-radiación o escalar, dado que es una comparación:

8C) Dispersión de la luz

Todos hemos visto alguna vez un arco-iris luego de una lluvia y también hemos visto que aparentemente hay 7 colores (más, o menos, según la percepción de cada individuo). Esto fue estudiado hace casi 350 años, cuando Isaac Newton (1642-1727) intentó demostrar mediante un experimento sencillo que la luz solar era una mezcla de luces de colores y que además no estaba formada de corpúsculos, como previamente había postulado René Descartes.

En su experimento, Newton colocó un prisma junto a un pequeño orificio situado en la pared de una habitación completamente a oscuras, de tal manera que la luz incidiera sobre el prisma y lo atravesara., lo que observó fue que los colores del arco-iris se desplegaban en una pantalla.. En este experimento, habían dos posibilidades: o la luz tomaba su color del prisma o bien, la luz tenía colores, los cuales tenían que ser separables. Ahora había que realizar un segundo experimento, que consistía en precisamente separar cada color observado mediante la colocación una pantalla, que hacía pasar el rayo seleccionado hacia un segundo prisma. Ahora lo que observó es que el color seleccionado se seguía proyectando en la segunda pantalla. Esto quería decir que la luz está formada por "luces de diferentes colores", que más adelante se demostrarían que son las distintas frecuencias de la luz lo que le da sus colores característicos.

Esto anterior, es lo postulado desde el punto de vista "clásico", puesto que según lo visto en clase, la luz (ni ningún tipo de radiación) no tiene por naturaleza asignadas frecuencia, velocidad, color, etc. Esto es según nuestro marco de referencia. Según la Tierra (nuestro marco de referencia) la luz del sol nos llega con distintas longitudes de onda, que abarcan desde los rayos UV (100-380 nm), la luz visible (380-800 nm) y la radiación IR (800 nm-1000 μm). Las frecuencias de luz del espectro visible, son las que más impacto tienen en nuestra vida, pues es básicamente la luz que podemos ver y la que nos guía y nos permite conocer el mundo en que vivimos.

Si la luz visible tiene distintas frecuencias de luz, a pesar de que tienen la misma velocidad, necesariamente éstas han de tener un vector de determinada magnitud, que determine su frecuencia. Estas distintas frecuencias sólo se hicieron visibles mediante la interacción de la luz con otro medio, que le cambie su velocidad y dirección, esto es, que difracte la luz. Si como se detalló en la ley de Snell, la difracción hará que la luz cambie de velocidad y dirección luego de haber pasado por un medio con el que interaccione de manera distinta que con el medio del que proviene. Esto se aplica para la dispersión de luz, que es la interacción de estas distintas longitudes de onda con un medio, según la interacción vector-tensor métrico, la cual es condicionada por el ambiente.

8D) Tabla de propiedades de la radiación

Fuentes:
http://www.astromia.com/astronomia/newtonluz.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Radiaci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica
http://estudiarfisica.wordpress.com/2010/07/31/relatividad-especial-constancia-de-la-velocidad-de-la-luz-cuadriposicion-metrica-de-minkowski-lineas-de-universo-parametro-natural-conos-de-luz-rotaciones-espacio-temporales-transformaciones-d/
http://cuentos-cuanticos.com/2011/08/11/analizando-un-diagrama-de-penrose-minkowski-otra-vez/

Tarea 8

8A) Ley de Snell

La ley de Snell es una fórmula nombrada en honor al astrónomo holandés Willebrord Snellius (1580–1626) y está es una fórmula mediante la cual obtiene el ángulo de diferencia que existe entre las trayectorias que describe de la luz al pasar de un medio a otro. Esta fórmula es la siguiente:

En esta fórmula, se expresan los senos de los ángulos (theta) de incidencia (1) y refracción (2) con respecto a un plano normal perpendicular trazado imaginariamente con respecto a la línea de interfase entre los dos medios. Los coeficientes n son los índices de refracción en cada uno de los medios, los cuales están definidos como la proporción que existe entre la velocidad de la luz en el vacío (C) y la velocidad de la luz en un medio, que este caso son los dos medios por los que pasa la luz (v).

Como más adelante se verá, tal y como se infiere en lo que se ha tratado, el ambiente es quien da el tamaño de la velocidad, que como ya se ha tratado desde el inicio del curso, es un vector.

8B) Refracción de la luz, índice de refracción

Si la refracción es el fenómeno en el cual la trayectoria de la luz ha cambiado al pasar de un medio a otro, entonces existe alguna interacción entre la radiación y el medio. Esta interacción, o interacciones (pues pueden ser más de dos) provocan un cambio de velocidad de ésta radiación, según el marco de referencia en el que nos situamos.

En el tema de métrica, se ha indicado que la magnitud de un vector, o proceso, es la magnitud de una derivada, la cual proviene de que éste vector exista en un campo escalar. Esta magnitud la da el ambiente, actúa como tensor métrico en el vector, asignándole una magnitud:

Si la velocidad de la luz tiene una magnitud en el vacío, otra en el aire y otra en el agua, por lo que se puede decir entonces que un tensor métrico distinto actúa sobre el vector, que es la radiación:

En este planteamiento, hay una identidad que es la velocidad de la luz en el vacío (C), en la que actúa el tensor métrico del vacío. Las demás, son ponderaciones que existen con respecto a cada tensor métrico que actúa según el medio.

Entonces, el índice de refracción es resultado directo de la interacción tensormétrico-radiación, dado que es una comparación:

8C) Dispersión de la luz

Todos hemos visto alguna vez un arco-iris luego de una lluvia y también hemos visto que aparentemente hay 7 colores (más, o menos, según la percepción de cada individuo). Esto fue estudiado hace casi 350 años, cuando Isaac Newton (1642-1727) intentó demostrar mediante un experimento sencillo que la luz solar era una mezcla de luces de colores y que además no estaba formada de corpúsculos, como previamente había postulado René Descartes.

En su experimento, Newton colocó un prisma junto a un pequeño orificio situado en la pared de una habitación completamente a oscuras, de tal manera que la luz incidiera sobre el prisma y lo atravesara., lo que observó fue que los colores del arco-iris se desplegaban en una pantalla.. En este experimento, habían dos posibilidades: o la luz tomaba su color del prisma o bien, la luz tenía colores, los cuales tenían que ser separables. Ahora había que realizar un segundo experimento, que consistía en precisamente separar cada color observado mediante la colocación una pantalla, que hacía pasar el rayo seleccionado hacia un segundo prisma. Ahora lo que observó es que el color seleccionado se seguía proyectando en la segunda pantalla. Esto quería decir que la luz está formada por "luces de diferentes colores", que más adelante se demostrarían que son las distintas frecuencias de la luz lo que le da sus colores característicos.

Esto anterior, es lo postulado desde el punto de vista "clásico", puesto que según lo visto en clase, la luz (ni ningún tipo de radiación) no tiene por naturaleza asignadas frecuencia, velocidad, color, etc. Esto es según nuestro marco de referencia. Según la Tierra (nuestro marco de referencia) la luz del sol nos llega con distintas longitudes de onda, que abarcan desde los rayos UV (100-380 nm), la luz visible (380-800 nm) y la radiación IR (800 nm-1000 μm). Las frecuencias de luz del espectro visible, son las que más impacto tienen en nuestra vida, pues es básicamente la luz que podemos ver y la que nos guía y nos permite conocer el mundo en que vivimos.

Si la luz visible tiene distintas frecuencias de luz, a pesar de que tienen la misma velocidad, necesariamente éstas han de tener un vector de determinada magnitud, que determine su frecuencia. Estas distintas frecuencias sólo se hicieron visibles mediante la interacción de la luz con otro medio, que le cambie su velocidad y dirección, esto es, que difracte la luz. Si como se detalló en la ley de Snell, la difracción hará que la luz cambie de velocidad y dirección luego de haber pasado por un medio con el que interaccione de manera distinta que con el medio del que proviene. Esto se aplica para la dispersión de luz, que es la interacción de estas distintas longitudes de onda con un medio, según la interacción vector-tensor métrico, la cual es condicionada por el ambiente.

Fuentes:
http://www.astromia.com/astronomia/newtonluz.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Radiaci%C3%B3n_electromagn%C3%A9tica

Tarea 7

Métrica

La métrica, tomando un enfoque simplista, se refiere a la medición, que no es más que la comparación de dos magnitudes previamente determinadas por consenso. Desde que el hombres se interesó en conocer y estudiar su mundo externo, su ambiente, ha habido enormes esfuerzos para determinar: ¿Cuánto mide esto? ¿Cuánto pesa aquello? o ¿Qué tan caliente está esto?, pues es un buen medio de entender nuestro mundo. Sin embargo, cabe señalar, que contrario a lo que la opinión popular tiene, las mediciones son relativas, es decir, el parámetro de medición es arbitrario.

Muestra de ello fueron los primeros intentos de medir longitudes, pues se utilizaban partes del cuerpo como los codos, palmas de la mano, pies e inclusive cuerpos enteros, pero todos ellos tenía estándares, esto es, se basaban en dichas partes de los cuerpos de reyes o personas destacadas. Esto cambió un poco cuando se decidió estandarizar aún más la medida, tomando como unidad básica la diezmillonésima parte de la longitud de la distancia que recorre el meridiano de Greenwich, en Inglaterra. Hubo cambio de estándar, pero la unidad de medida no dejó de ser arbitraria, es decir, hubo una elección.

Cintas métricas, un utensilio común.

Lo mismo aplica para la medición de la masa, del tiempo... es más, aplica en mediciones derivadas como velocidad (visto en tareas 2, 3 y 6), fuerza, potencia, así como a la luminosidad, magnitudes de campo eléctrico y magnético. Todas, todas las mediciones son relativas.

Una manera de representar dichas mediciones son las coordenadas, introducidas por René Descartes en el siglo XVII. Estos sistemas coordenados dan buena idea de fenómenos, procesos, etc, sin embargo, carecen de importancia, sabiendo ya que las elecciones para estudiar un sistema comienzan por la elección de un marco de referencia, el cual carece también de importancia, dado que ningún marco de referencia es privilegiado en el universo.

Las coordenadas también son conocidas como escalares (vistos en tarea 1), los cuales son simplemente números. Popularmente se asigna a cada valor escalar una unidad, sin embargo como ya vimos, la elección de unidades carece de importancias, es más, hasta es un obstáculo debido a que si como se ha visto en clase, los vectores son derivadas y éstas tampoco tienen unidades, entonces no se pueden derivar escalares que contengan unidades (¡!).

Esto es algo muy importante, pues para todo estudio en física, es necesario obtener, sumar y restar vectores, cosa que no es posible con unidades de por medio. Estas unidades, como se verá, son asignadas por el medio, ya que el tensor mixto es el componente ambiental que influye en la identidad escalar.

Se mostrará a continuación la desventaja de utilizar unidades como concepto absoluto:

En curvas de nivel, hay valores numéricos asignados a cada una

Los escalares se deben poder sumar:

• 10 + 10 = 20
• 10 + 10^2 = 110

Cosa que no es posible con unidades:

• 10ºC + 10ºC = 20ºC
• 10ºC + (10ºC)^2 = ¿?

Tampoco es posible multiplicar o menos, derivar. Por ello, se dice que la elección asigna unidades:

Ejemplo: un estado de gas con temperatura T

Lo mismo aplica a los vectores, pues sea el sistema de coordenadas que se elija, o bien, sean las unidades que se usen, el proceso ocurre de todas maneras. El proceso es natural, las coordenadas y las unidades no lo son (¡!).

El concepto de magnitud escalar lo inventó Einstein. Este concepto está basado en la afirmación de que el ambiente da magnitud al vector:

Para demostrar que el vector tiene distinta magnitud según el medio, ahora se evalúa la forma con el vector. Suponiendo que el vector atraviesa 2 crestas de onda, pero en otro ambiente atraviesa n (desconocidas) veces:

Tarea 6

6A) Tiempo y ondas

Según lo visto en clase, el tiempo se comporta como una onda, representada más o menos así:

Alfa está representando la distancia entre cresta y cresta, esto es, la amplitud de la onda, mientras que dt es la expresión del iso-Tiempo, es decir, el covector. ¿A qué se refiere un "covector"?. Éste es el tensor dado por el ambiente y éste se le aplica a un vector (proceso) para obtener un valor escalar. Veamos un ejemplo:

El proceso "Phi", o (∂/∂P)_T se encuentra de la siguiente manera en el campo de ondas siguiente:

Como se observa, el proceso "Phi" pasa por dos frentes de onda, es decir, "vale" 1, que es ahora un escalar. Esto se expresa de la siguiente manera:

Para obtener el tensor mixto, es decir, el dado por el ambiente, este proceso también está definido ahora por:

Donde se buscan los valores a y b:

Ahora, sustituyendo estos valores en la ecuación de alfa:

Este el valor la onda para el proceso (∂/∂P)_T. Según esto, el coeficiente "a" lo da el ambiente, esto es un tensor. ¿Y esto que implica? Bueno, básicamente implica que cada proceso tiene asignada una onda y que el proceso transcurre en la cresta de cada onda. Si esto lo aplicamos al tiempo, esto quiere decir que los sucesos ocurren en las crestas del tiempo, de manera similar a como ocurren los procesos "iso". (¿?).

6B) Velocidades relativas

Ahora supongamos la siguiente escena: por la calle, un autobús en la calle arranca y se mueve... ¿con respecto a qué/quien? Bueno, supongamos que se mueve con respecto al mercado donde hace base. Voilà: tenemos ahora un desplazamiento entre el. Ahora, también hay otro objeto que comienza a moverse con respecto al mercado: un ciclista que luego de hacer sus compras en el mercado se dirige de regreso a su hogar. Pero, ahora vemos: si el autobús se mueve con respecto al mercado, es decir tiene velocidad diferente a 0 al igual que el ciclista, entonces también podemos afirmar que... ¡hay un movimiento entre ambos!. Esto quiere decir, que también debe haber una velocidad diferente de 0. Podemos representarlo de una manera sencilla de la siguiente manera:

El vector verde representa el movimiento del Autobus sobre iso-A, ya que el autobús conserva su lugar con respecto a sí mismo, siendo el caso idéntico para la flecha violeta, que representa el movimiento del ciclista sobre iso-B. Haciendo la suma de vectores, sumando el vector verde con el violeta se obtiene el vector azul, que es la velocidad relativa entre el ciclista y el autobús.

6C) Proceso Joule-Thomson

También llamado proceso de estrangulamiento, es un proceso durante el cual se disminuye la temperatura de un gas durante una expansión adiabática. Dicha expansión se lleva a cabo en un recipiente previamente evacuado, que es llenado poco a poco con gas proveniente de un recipiente vecino, con el que comparte una pared porosa, por la cual el gas se transporta del compartimiento lleno al vacío. Este es un comportamiento propio de los gases reales y se caracteriza por conservar la entalpía al inicio y al final del proceso, esto es, un proceso iso-entálpico o iso-H.

Un ejemplo de proceso Joule-Thomson (J-T) se define como un proceso que pasa a través de ondas dP:

En el proceso de Joule-Thomson se presentan dos procesos, un observador y un observado:

Estos son denotados como Observado: modificación isoentálpica del volumen por estrangulamiento; y Observador: modificación isotérmica de la presión. Al proceso observado se le aplica el tensor mixto simple, en función de las crestas de la onda dP:

Si esto lo aplicamos en la siguiente expresión:

En esta expresión, el factor de Minkowksy es un término de corrección relativista, que a veces se le denota con la letra griega gamma y se relaciona con las velocidades relativas. Gráficamente puede representarse de la siguiente manera:

Tomando en cuenta esta corrección, entonces ahora podemos establecer el coeficiente de Joule-Thomson:

Esto nos devuelve justo al inicio, por lo que es válida la afirmación de que la entalpía es relevante, mientras que la presión y el volumen es casi irrelevante, dado que lo que importa en este proceso es la conservación de la entalpía, y ésta se logró demostrar mediante la comprobación de las velocidades relativas de los dos subprocesos que intervienen en el proceso Joule-Thomson.

Fuentes:
Notas de clase en SAE. Unidad 2. Dr. Oziewicz.